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Direction euclidienne

Direction euclidienne


j'essaie de calculer la direction euclidienne, dans ArcGIS c'est très facile en utilisant l'outil Direction euclidienne de Spatial Analyst mais dans QGIS je ne trouve pas comment le faire.

Des conseils pour cela dans le logiciel libre?


  • Vecteur->Outils d'analyse->Matrice de distance
  • Calculer juste le point le plus proche
  • Joignez les deux paires x/y à votre fichier de sortie
  • Le reste n'est que maths de base dans un triangle rectangle

Les données source en entrée peuvent être une classe d'entités ou un raster.

Les valeurs de sortie sont basées sur les directions de la boussole (90 à l'est, 180 au sud, 270 à l'ouest et 360 au nord), avec 0 réservé aux cellules source.

Lorsque les données source en entrée sont un raster, l'ensemble de cellules source se compose de toutes les cellules du raster source qui ont des valeurs valides. Les cellules qui ont des valeurs NoData ne sont pas incluses dans l'ensemble source. La valeur 0 est considérée comme une source légitime. Un raster source peut être créé à l'aide des outils d'extraction.

Lorsque les données source en entrée sont une classe d'entités, les emplacements source sont convertis en raster en interne avant d'effectuer l'analyse.

Lors de l'utilisation de données d'entité pour les données source d'entrée, il faut faire attention à la façon dont la taille de cellule en sortie est gérée lorsqu'elle est grossière, par rapport aux détails présents dans l'entrée. Le processus de rastérisation interne utilise le même type d'affectation de cellule par défaut que l'outil Entité vers raster, qui est la méthode du centre de cellule. Cela signifie que les données non situées au centre de la cellule ne seront pas incluses dans la sortie source rastérisée intermédiaire, elles ne seront donc pas représentées dans les calculs de distance. Par exemple, si vos sources sont une série de petits polygones (tels que des emprises de bâtiment) qui sont petits par rapport à la taille de la cellule en sortie, il est possible que seuls quelques-uns tombent sous les centres des cellules raster en sortie, causant apparemment la plupart des les autres se perdent dans l'analyse.

Pour éviter cette situation, comme étape intermédiaire, vous pouvez pixelliser les entités en entrée directement avec l'outil Entité vers raster et définir le paramètre Champ. Utilisez ensuite la sortie résultante comme entrée de l'outil de distance particulier que vous souhaitez utiliser. Vous pouvez également sélectionner une petite taille de cellule pour capturer la quantité appropriée de détails à partir des entités en entrée.

La distance maximale est spécifiée dans les mêmes unités de carte que les données de la source d'entrée.

La taille de la cellule en sortie peut être définie par une valeur numérique ou obtenue à partir d'un jeu de données raster existant. Si la taille de la cellule n'a pas été explicitement spécifiée comme valeur de paramètre, elle est dérivée de l'environnement Cell Size si elle a été spécifiée. Si la taille de cellule de paramètre ou la taille de cellule d'environnement n'ont pas été spécifiées, la taille de cellule de sortie par défaut est déterminée en fonction du type de jeu de données en entrée comme suit :

  • Si le jeu de données en entrée est un raster, la taille de cellule du jeu de données est utilisée.
  • Si le jeu de données en entrée est une entité et que l'environnement de raster de capture a été défini, la taille de cellule du raster de capture est utilisée. Si aucun raster d'accrochage n'est défini, la taille de la cellule est calculée à partir de la plus courte de la largeur ou de la hauteur de l'étendue divisée par 250, dans laquelle l'étendue est dans le système de coordonnées en sortie spécifié dans l'environnement.

Si la taille de cellule est spécifiée à l'aide d'une valeur numérique, l'outil l'utilisera directement pour le raster en sortie.

Si la taille de cellule est spécifiée à l'aide d'un jeu de données raster, le paramètre affichera le chemin du jeu de données raster au lieu de la valeur de taille de cellule. La taille de cellule de ce jeu de données raster sera utilisée directement dans l'analyse, à condition que la référence spatiale du jeu de données soit la même que la référence spatiale en sortie. Si la référence spatiale du jeu de données est différente de la référence spatiale en sortie, elle sera projetée en fonction de la méthode de projection de la taille de la cellule sélectionnée.

L'étendue de traitement par défaut pour cet outil est l'Union des entrées . L'étendue combinée des deux ensembles de données d'entrée sera traitée.

Cet outil prend en charge le traitement parallèle. Si votre ordinateur dispose de plusieurs processeurs ou de processeurs à plusieurs cœurs, de meilleures performances peuvent être obtenues, en particulier sur des ensembles de données plus volumineux. La rubrique d'aide Traitement parallèle avec Spatial Analyst contient plus de détails sur cette fonctionnalité et sur la façon de la configurer.

Lors de l'utilisation du traitement parallèle, des données temporaires seront écrites pour gérer les blocs de données en cours de traitement. L'emplacement par défaut du dossier temporaire sera sur votre lecteur C: local. Vous pouvez contrôler l'emplacement de ce dossier en configurant une variable d'environnement système nommée TempFolders et en spécifiant le chemin d'accès au dossier à utiliser (par exemple, E:RasterCache ). Si vous disposez de privilèges d'administrateur sur votre machine, vous pouvez également utiliser une clé de registre (par exemple, [HKEY_CURRENT_USERSOFTWAREESRIArcGISProRaster]).

Par défaut, cet outil utilisera 50 pour cent des cœurs disponibles. Si les données d'entrée sont inférieures à 5 000 par 5 000 cellules, moins de cœurs peuvent être utilisés. Vous pouvez contrôler le nombre de cœurs que l'outil utilise avec l'environnement de facteur de traitement parallèle.

Voir Environnements d'analyse et Spatial Analyst pour plus de détails sur les environnements de géotraitement qui s'appliquent à cet outil.


Syntaxe

Les emplacements des sources d'entrée.

Il s'agit d'un raster ou d'un jeu de données d'entité qui identifie les cellules ou les emplacements auxquels la distance euclidienne pour chaque emplacement de cellule en sortie est calculée.

Pour les rasters, le type d'entrée peut être entier ou à virgule flottante.

Définit le seuil que les valeurs de distance cumulées ne peuvent pas dépasser.

Si une valeur de distance euclidienne cumulée dépasse cette valeur, la valeur de sortie pour l'emplacement de la cellule sera NoData.

La distance par défaut correspond au bord du raster en sortie.

La taille de cellule à laquelle le raster en sortie sera créé.

  • Si la source est raster, la sortie aura la même taille de cellule.
  • Si la source est une entité, la sortie aura une taille de cellule déterminée par la plus courte de la largeur ou de la hauteur de l'étendue de l'entité en entrée, dans la référence spatiale en entrée, divisée par 250.

Raster de distance euclidienne en sortie.

Le raster de distance identifie, pour chaque cellule, la distance euclidienne jusqu'à la cellule source la plus proche, l'ensemble de cellules source ou l'emplacement source.

Le raster en sortie est de type virgule flottante.

Valeur de retour

Le raster de direction euclidienne en sortie.

Le raster de direction contient la direction calculée, en degrés, dans laquelle chaque centre de cellule est à partir du centre de cellule source le plus proche.

La plage de valeurs va de 0 degrés à 360 degrés, 0 étant réservé aux cellules source. Plein est (à droite) est de 90 et les valeurs augmentent dans le sens des aiguilles d'une montre (180 est le sud, 270 est l'ouest et 360 est le nord).

Le raster en sortie est de type entier.


Syntaxe

Les emplacements des sources d'entrée.

Il s'agit d'un raster ou d'un jeu de données d'entité qui identifie les cellules ou les emplacements auxquels la distance euclidienne pour chaque emplacement de cellule en sortie est calculée.

Pour les rasters, le type d'entrée peut être entier ou à virgule flottante.

Le seuil que les valeurs de distance cumulées ne peuvent pas dépasser.

Si une valeur de distance euclidienne cumulée dépasse cette valeur, la valeur de sortie pour l'emplacement de la cellule sera NoData.

La distance par défaut correspond au bord du raster en sortie.

La taille de cellule du raster en sortie qui sera créé.

Ce paramètre peut être défini par une valeur numérique ou obtenu à partir d'un jeu de données raster existant. Si la taille de cellule n'a pas été explicitement spécifiée comme valeur de paramètre, la valeur de taille de cellule d'environnement sera utilisée si elle est spécifiée autrement, des règles supplémentaires seront utilisées pour la calculer à partir des autres entrées. Voir la section utilisation pour plus de détails.

Le raster de direction euclidienne en sortie.

Le raster de direction contient la direction calculée, en degrés, dans laquelle chaque centre de cellule est à partir du centre de cellule source le plus proche.

La plage de valeurs va de 0 degrés à 360 degrés, 0 étant réservé aux cellules source. Plein est (à droite) est de 90 et les valeurs augmentent dans le sens des aiguilles d'une montre (180 est le sud, 270 est l'ouest et 360 est le nord).

Le raster en sortie est de type entier.

Indique s'il faut calculer la distance à l'aide d'une méthode planaire (terre plate) ou géodésique (ellipsoïde).

  • PLANAIRE — Le calcul de distance sera effectué sur un plan plat projeté à l'aide d'un système de coordonnées cartésiennes 2D. C'est la valeur par défaut.
  • GEODESIC — Le calcul de distance sera effectué sur l'ellipsoïde. Par conséquent, quelle que soit la projection d'entrée ou de sortie, les résultats ne changent pas.

L'ensemble de données qui définit les barrières.

Les barrières peuvent être définies par un nombre entier ou un raster à virgule flottante, ou par une couche d'entités.

Le raster de direction arrière euclidienne en sortie.

Le raster de direction arrière contient la direction calculée en degrés. La direction identifie la cellule suivante le long du chemin le plus court vers la source la plus proche tout en évitant les barrières.

La plage de valeurs va de 0 degrés à 360 degrés, 0 étant réservé aux cellules source. Plein est (à droite) est de 90 et les valeurs augmentent dans le sens des aiguilles d'une montre (180 est le sud, 270 est l'ouest et 360 est le nord).

Le raster en sortie est de type float.

Valeur de retour

Raster de distance euclidienne en sortie.

Le raster de distance identifie, pour chaque cellule, la distance euclidienne jusqu'à la cellule source la plus proche, l'ensemble de cellules source ou l'emplacement source.

Le raster en sortie est de type virgule flottante.


Syntaxe

Les emplacements des sources d'entrée.

Il s'agit d'un raster ou d'un jeu de données d'entité qui identifie les cellules ou les emplacements auxquels la distance euclidienne pour chaque emplacement de cellule en sortie est calculée.

Pour les rasters, le type d'entrée peut être entier ou à virgule flottante.

Définit le seuil que les valeurs de distance cumulées ne peuvent pas dépasser.

Si une valeur de distance euclidienne cumulée dépasse cette valeur, la valeur de sortie pour l'emplacement de la cellule sera NoData.

La distance par défaut correspond au bord du raster en sortie.

La taille de cellule à laquelle le raster en sortie sera créé.

  • Si la source est raster, la sortie aura la même taille de cellule.
  • Si la source est une entité, la sortie aura une taille de cellule déterminée par la plus courte de la largeur ou de la hauteur de l'étendue de l'entité en entrée, dans la référence spatiale en entrée, divisée par 250.

Raster de distance euclidienne en sortie.

Le raster de distance identifie, pour chaque cellule, la distance euclidienne jusqu'à la cellule source la plus proche, l'ensemble de cellules source ou l'emplacement source.

Le raster en sortie est de type virgule flottante.

Détermine s'il faut calculer la distance à l'aide d'une méthode planaire (terre plate) ou géodésique (ellipsoïde).

  • PLANAR —Le calcul sera effectué sur un plan plat projeté à l'aide d'un système de coordonnées cartésiennes 2D. C'est la méthode par défaut.
  • GEODESIC —Les distances sont calculées sur l'ellipsoïde. Par conséquent, quelle que soit la projection d'entrée ou de sortie, les résultats ne changent pas.

Valeur de retour

Le raster de direction euclidienne en sortie.

Le raster de direction contient la direction calculée, en degrés, dans laquelle chaque centre de cellule est à partir du centre de cellule source le plus proche.

La plage de valeurs va de 0 degrés à 360 degrés, 0 étant réservé aux cellules source. Plein est (à droite) est de 90 et les valeurs augmentent dans le sens des aiguilles d'une montre (180 est le sud, 270 est l'ouest et 360 est le nord).

Le raster en sortie est de type entier.


Calcul des formes différentielles

B.2.2 Au-delà de l'espace tridimensionnel

Considérons maintenant l'espace euclidien Em. Un différentiel général (p − 1)-forme dans l'espace Em est défini par l'équation ( B.1 ):

Introduisons exactement p-forme égale à :

Le théorème général de Stokes énonce que

Cp représente la limite de l'élément géométrique Cpde l'espace Em.

Notez que l'élément géométrique Cp peut être traité comme un domaine de dimension p dans un espace multidimensionnel. Le lecteur intéressé pourra trouver une définition rigoureuse des domaines multidimensionnels et la preuve du théorème général de Stokes dans les manuels sur la théorie mathématique des formes différentielles.

Dans le présent texte, nous limitons notre discussion à l'explication intuitive de cette importante théorie mathématique. Par exemple, la dérivation formelle suivante devrait donner une idée de la façon dont nous pouvons arriver au théorème de Stokes. En effet, on peut substituer la représentation ( B.42 ) dans la partie gauche de l'équation ( B.43 ), et, après quelques algèbres, on obtient la partie droite de cette formule :

En conclusion, notons que la forme tridimensionnelle du théorème de Stokes ( 1.44) vient comme un cas particulier de la formule générale ( B.43 ).


Cartographie de la distance euclidienne et méthode de la voie verte proposée à Malte

La protection des espaces naturels est l'un des facteurs clés pris en compte dans le développement des zones urbaines, qui offre également d'importantes possibilités de loisirs pour les citoyens. Par ailleurs, ces espaces naturels protégés sont également importants car ils constituent des habitats pour les êtres vivants. L'intégration d'une ville à l'environnement naturel soutiendra le développement social et économique et améliorera la structure écologique pour un développement urbain durable. A cet égard, les voies vertes et les réseaux écologiques sont des habitats des êtres vivants. Les voies vertes limitent également le développement urbain. Dans cette étude, des voies vertes ont été créées pour Malte en utilisant la cartographie à distance euclidienne (EDM) afin que les sites maltais soient protégés du développement urbain. Les zones naturelles protégées de Malte ont été intégrées aux villes par la méthode EDM. L'EDM est une application d'un système d'information géographique (SIG) et a été utilisé pour restreindre le développement urbain avec des zones naturelles. Dans cette étude, un réseau écologique a été établi avec la méthode EDM parmi les aires protégées de Malte. L'un des résultats les plus importants de cette étude est la connexion des zones paysagères de Malte très sensibles et très sensibles avec des zones paysagères très valorisées à travers un réseau de voies vertes. Un autre résultat important était que la zone de paysage sensible traversant l'île dans la direction sud-ouest-nord-est chevauchait la zone tampon formée par l'EDM. La méthode EDM a révélé que les zones paysagères très sensibles de Malte peuvent être préservées. L'EDM permettra d'aborder de manière holistique les aires protégées de Malte. Il est conclu que les voies vertes créées par la méthode EDM ont contribué à la durabilité des zones protégées et à préserver les zones paysagères sensibles de Malte. En conséquence, cette méthode a créé une série de voies vertes connectées qui à la fois limiteront l'expansion urbaine et offriront à Malte un environnement plus vivable.


Contenu

En mathématiques, la dimension d'un objet est, grosso modo, le nombre de degrés de liberté d'un point qui se déplace sur cet objet. En d'autres termes, la dimension est le nombre de paramètres indépendants ou de coordonnées nécessaires pour définir la position d'un point qui est contraint d'être sur l'objet. Par exemple, la dimension d'un point est zéro la dimension d'une ligne est un, comme un point peut se déplacer sur une ligne dans une seule direction (ou son contraire) la dimension d'un plan est deux, etc.

La dimension est une propriété intrinsèque d'un objet, au sens où elle est indépendante de la dimension de l'espace dans lequel l'objet est ou peut être encastré. Par exemple, une courbe, telle qu'un cercle, est de dimension un, car la position d'un point sur une courbe est déterminée par sa distance signée le long de la courbe jusqu'à un point fixe sur la courbe. Ceci est indépendant du fait qu'une courbe ne peut pas être enfoncée dans un espace euclidien de dimension inférieure à deux, à moins qu'il ne s'agisse d'une ligne.

La dimension euclidienne m -espace E m est m . En essayant de généraliser à d'autres types d'espaces, on est confronté à la question « qu'est-ce qui fait E m m -dimensionnel ?" Une réponse est que pour couvrir une boule fixe dans E m par petites boules de rayon ε , il faut de l'ordre de εm ces petites boules. Cette observation conduit à la définition de la dimension de Minkowski et de sa variante plus sophistiquée, la dimension de Hausdorff, mais il y a aussi d'autres réponses à cette question. Par exemple, la limite d'une balle dans E m ressemble localement à E m-1 et cela conduit à la notion de dimension inductive. Bien que ces notions s'accordent sur E m , ils s'avèrent différents lorsque l'on regarde des espaces plus généraux.

Un tesseract est un exemple d'objet à quatre dimensions. Alors qu'en dehors des mathématiques, l'utilisation du terme « dimension » est comme dans : « Un tesseract a quatre dimensions", les mathématiciens expriment généralement cela comme: "Le tesseract a la dimension 4", ou : " La dimension du tesseract est 4" ou : 4D.

Bien que la notion de dimensions supérieures remonte à René Descartes, le développement substantiel d'une géométrie de dimension supérieure n'a commencé qu'au 19ème siècle, via les travaux d'Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli et Bernhard Riemann. Habilitationsschrift de Riemann 1854, Schläfli 1852 Theorie der vielfachen Kontinuität, et la découverte des quaternions par Hamilton et la découverte des octonions par John T. Graves en 1843 ont marqué le début de la géométrie de dimension supérieure.

Le reste de cette section examine certaines des définitions mathématiques les plus importantes de la dimension.

Espaces vectoriels Modifier

La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans n'importe quelle base de l'espace, c'est-à-dire le nombre de coordonnées nécessaires pour spécifier n'importe quel vecteur. Cette notion de dimension (la cardinalité d'une base) est souvent appelée la Cote Hamel ou alors dimension algébrique pour le distinguer des autres notions de dimension.

Pour le cas non libre, cela se généralise à la notion de longueur d'un module.

Collecteurs Modifier

La dimension définie de manière unique de chaque variété topologique connectée peut être calculée. Une variété topologique connexe est localement homéomorphe à euclidienne m -espace, dans lequel le nombre m est la dimension de la variété.

Pour les variétés différentiables connectées, la dimension est également la dimension de l'espace vectoriel tangent en tout point.

En topologie géométrique, la théorie des variétés est caractérisée par la façon dont les dimensions 1 et 2 sont relativement élémentaires, la de grande dimension cas m > 4 sont simplifiés en ayant un espace supplémentaire dans lequel "travailler" et les cas m = 3 et 4 sont à certains égards les plus difficiles. Cet état de fait a été très marqué dans les différents cas de la conjecture de Poincaré, où quatre méthodes de preuve différentes sont appliquées.

Dimension complexe Modifier

La dimension d'une variété dépend du champ de base par rapport auquel l'espace euclidien est défini. Alors que l'analyse suppose généralement qu'une variété est sur les nombres réels, il est parfois utile dans l'étude des variétés complexes et des variétés algébriques de travailler sur les nombres complexes à la place. Un nombre complexe (X + oui) a un vrai rôle X et une partie imaginaire oui, où x et y sont tous deux des nombres réels, la dimension complexe est donc la moitié de la dimension réelle.

Inversement, dans des contextes algébriquement non contraints, un seul système de coordonnées complexe peut être appliqué à un objet ayant deux dimensions réelles. Par exemple, une surface sphérique bidimensionnelle ordinaire, lorsqu'on lui donne une métrique complexe, devient une sphère de Riemann d'une dimension complexe. [3]

Variétés Modifier

La dimension d'une variété algébrique peut être définie de diverses manières équivalentes. La manière la plus intuitive est probablement la dimension de l'espace tangent en tout point régulier d'une variété algébrique. Une autre manière intuitive est de définir la dimension comme le nombre d'hyperplans nécessaires pour avoir une intersection avec la variété qui se réduit à un nombre fini de points (dimension zéro). Cette définition est basée sur le fait que l'intersection d'une variété avec un hyperplan réduit la dimension de un sauf si l'hyperplan contient la variété.

Un ensemble algébrique étant une union finie de variétés algébriques, sa dimension est le maximum des dimensions de ses composants. Elle est égale à la longueur maximale des chaînes V 0 ⊊ V 1 ⊊ ⋯ ⊊ V d subsetneq V_<1>subsetneq cdots subsetneq V_> de sous-variétés de l'ensemble algébrique donné (la longueur d'une telle chaîne est le nombre de " ⊊ ").

Chaque variété peut être considérée comme un empilement algébrique, et sa dimension en tant que variété s'accorde avec sa dimension en tant qu'empilement. Il existe cependant de nombreux empilements qui ne correspondent pas à des variétés, et certains d'entre eux ont une dimension négative. Plus précisément, si V est une variété de dimension m et g est un groupe algébrique de dimension m agissant sur V, alors la pile de quotients [V/g] a une dimension mm. [4]

Dimension Krull Modifier

Pour une algèbre sur un corps, la dimension comme espace vectoriel est finie si et seulement si sa dimension de Krull est 0.

Espaces topologiques Modifier

Pour tout espace topologique normal X , la dimension de revêtement de Lebesgue de X est défini comme étant le plus petit entier m pour laquelle ce qui suit est vérifié : tout couvercle ouvert a un raffinement ouvert (un deuxième couvercle ouvert où chaque élément est un sous-ensemble d'un élément du premier couvercle) tel qu'aucun point n'est inclus dans plus de m + 1 éléments. Dans ce cas faible X = m . Pour X un collecteur, cela coïncide avec la dimension mentionnée ci-dessus. Si aucun nombre entier m existe, alors la dimension de X est dit infini, et on écrit faible X = ∞ . En outre, X a la dimension -1, c'est-à-dire dim X = -1 si et seulement si X est vide. Cette définition de la dimension de recouvrement peut être étendue de la classe des espaces normaux à tous les espaces de Tychonoff simplement en remplaçant le terme "ouvert" dans la définition par le terme "fonctionnellement ouvert".

Une dimension inductive peut être définie inductivement comme suit. Considérons qu'un ensemble discret de points (comme une collection finie de points) est de 0 dimension. En faisant glisser un objet à 0 dimension dans une certaine direction, on obtient un objet à 1 dimension. En faisant glisser un objet à une dimension dans un nouvelle direction, on obtient un objet à 2 dimensions. En général on obtient un ( m + 1 )-dimensionnel objet en faisant glisser un m -objet dimensionnel dans un Nouveau direction. La dimension inductive d'un espace topologique peut se référer à la petite dimension inductive ou la grande dimension inductive, et est basé sur l'analogie que, dans le cas des espaces métriques, ( m + 1 )-sphères dimensionnelles ont m -limites dimensionnelles, permettant une définition inductive basée sur la dimension des limites des ensembles ouverts. De plus, la frontière d'un ensemble discret de points est l'ensemble vide, et donc l'ensemble vide peut être considéré comme ayant la dimension -1. [5]

De même, pour la classe des complexes CW, la dimension d'un objet est le plus grand n pour lequel le n-squelette n'est pas trivial. Intuitivement, cela peut être décrit comme suit : si l'espace d'origine peut être continuellement déformé en une collection de triangles de dimension supérieure joints à leurs faces avec une surface compliquée, alors la dimension de l'objet est la dimension de ces triangles. [ citation requise ]

Dimension Hausdorff Modifier

La dimension de Hausdorff est utile pour étudier des ensembles structurellement compliqués, en particulier les fractales. La dimension de Hausdorff est définie pour tous les espaces métriques et, contrairement aux dimensions considérées ci-dessus, peut également avoir des valeurs réelles non entières. [6] La dimension boîte ou dimension Minkowski est une variante de la même idée. En général, il existe plus de définitions de dimensions fractales qui fonctionnent pour des ensembles très irréguliers et atteignent des valeurs réelles positives non entières. Les fractales se sont avérées utiles pour décrire de nombreux objets et phénomènes naturels. [7] [ page nécessaire ] [8] [ page nécessaire ]

Espaces Hilbert Modifier

Chaque espace de Hilbert admet une base orthonormée, et deux de ces bases pour un espace particulier ont la même cardinalité. Cette cardinalité est appelée la dimension de l'espace de Hilbert. Cette dimension est finie si et seulement si la dimension de Hamel de l'espace est finie, et dans ce cas les deux dimensions coïncident.

Dimensions spatiales Modifier

Les théories physiques classiques décrivent trois dimensions physiques : à partir d'un point particulier de l'espace, les directions de base dans lesquelles nous pouvons nous déplacer sont haut/bas, gauche/droite et avant/arrière. Le mouvement dans n'importe quelle autre direction peut être exprimé en termes de ces trois éléments. Descendre équivaut à remonter une distance négative. Se déplacer en diagonale vers le haut et vers l'avant est exactement comme le nom de la direction l'indique c'est à dire., se déplaçant dans une combinaison linéaire de haut en avant. Dans sa forme la plus simple : une ligne décrit une dimension, un plan décrit deux dimensions et un cube décrit trois dimensions. (Voir Espace et système de coordonnées cartésiennes.)

Heure Modifier

UNE dimension temporelle, ou alors dimension temporelle, est une dimension du temps. Le temps est souvent appelé la « quatrième dimension » pour cette raison, mais cela ne veut pas dire qu'il s'agit d'une dimension spatiale. Une dimension temporelle est une façon de mesurer le changement physique. Elle est perçue différemment des trois dimensions spatiales en ce qu'il n'y en a qu'une, et que nous ne pouvons pas nous déplacer librement dans le temps mais nous déplacer subjectivement dans une direction.

Les équations utilisées en physique pour modéliser la réalité ne traitent pas le temps de la même manière que les humains le perçoivent couramment. Les équations de la mécanique classique sont symétriques par rapport au temps, et les équations de la mécanique quantique sont généralement symétriques si le temps et d'autres quantités (telles que la charge et la parité) sont inversés. Dans ces modèles, la perception du temps qui s'écoule dans un sens est un artefact des lois de la thermodynamique (nous percevons le temps comme s'écoulant dans le sens de l'entropie croissante).

Le traitement le plus connu du temps en tant que dimension est la relativité restreinte de Poincaré et Einstein (et étendue à la relativité générale), qui traite l'espace et le temps perçus comme des composants d'une variété à quatre dimensions, connue sous le nom d'espace-temps, et dans le cas spécial et plat comme espace de Minkowski. Le temps est différent des autres dimensions spatiales car le temps opère dans toutes les dimensions spatiales. Le temps opère dans les première, deuxième et troisième dimensions spatiales théoriques telles qu'une quatrième dimension spatiale. Le temps n'est cependant pas présent en un seul point de singularité infinie absolue tel que défini comme un point géométrique, car un point infiniment petit ne peut avoir aucun changement et donc pas de temps. Tout comme lorsqu'un objet est lancé se déplace à travers des positions dans l'espace, l'objet se déplace également dans des positions temporelles, en ce sens la force qui déplace tout objet à changer est temps. [9] [10] [11] [12]

Dimensions supplémentaires Modifier

En physique, trois dimensions d'espace et une de temps sont la norme acceptée. Cependant, il existe des théories qui tentent d'unifier les quatre forces fondamentales en introduisant des dimensions/hyperespace supplémentaires. Plus particulièrement, la théorie des supercordes nécessite 10 dimensions d'espace-temps et provient d'une théorie plus fondamentale à 11 dimensions provisoirement appelée théorie M qui subsume cinq théories de supercordes précédemment distinctes. La théorie de la supergravité favorise également l'espace-temps 11D = hyperespace 7D + 4 dimensions communes. À ce jour, aucune preuve expérimentale ou observationnelle directe n'est disponible pour soutenir l'existence de ces dimensions supplémentaires. Si l'hyperespace existe, il doit nous être caché par un mécanisme physique. Une possibilité bien étudiée est que les dimensions supplémentaires puissent être « recroquevillées » à des échelles si minuscules qu'elles soient effectivement invisibles pour les expériences actuelles. Les limites de la taille et d'autres propriétés des dimensions supplémentaires sont fixées par des expériences sur les particules [ éclaircissements nécessaires ] tels que ceux du Grand collisionneur de hadrons. [13]

En 1921, la théorie de Kaluza-Klein a présenté la 5D incluant une dimension supplémentaire de l'espace. Au niveau de la théorie quantique des champs, la théorie de Kaluza-Klein unifie la gravité avec les interactions de jauge, en partant du principe que la gravité se propageant dans des dimensions supplémentaires petites et compactes équivaut à des interactions de jauge sur de longues distances. En particulier lorsque la géométrie des surdimensions est triviale, elle reproduit l'électromagnétisme. Cependant, à des énergies suffisamment élevées ou à de courtes distances, cette configuration souffre toujours des mêmes pathologies qui entravent notoirement les tentatives directes de décrire la gravité quantique. Par conséquent, ces modèles nécessitent toujours un achèvement UV, du type de celui que la théorie des cordes est censée fournir. En particulier, la théorie des supercordes nécessite six dimensions compactes (hyperespace 6D) formant une variété de Calabi-Yau. Ainsi, la théorie de Kaluza-Klein peut être considérée soit comme une description incomplète en elle-même, soit comme un sous-ensemble de la construction de modèles de théorie des cordes.

En plus des dimensions supplémentaires petites et recroquevillées, il peut y avoir des dimensions supplémentaires qui, à la place, ne sont pas apparentes car la matière associée à notre univers visible est localisée sur un sous-espace de dimension (3 + 1). Ainsi, les dimensions supplémentaires n'ont pas besoin d'être petites et compactes mais peuvent être de grandes dimensions supplémentaires. Les D-branes sont des objets étendus dynamiques de diverses dimensionnalités prédites par la théorie des cordes qui pourraient jouer ce rôle. Ils ont la propriété que les excitations de cordes ouvertes, qui sont associées aux interactions de jauge, sont confinées à la brane par leurs extrémités, tandis que les cordes fermées qui médient l'interaction gravitationnelle sont libres de se propager dans tout l'espace-temps, ou "la masse". Cela pourrait être lié à la raison pour laquelle la gravité est exponentiellement plus faible que les autres forces, car elle se dilue efficacement en se propageant dans un volume de dimension supérieure.

Certains aspects de la physique des branes ont été appliqués à la cosmologie. Par exemple, la cosmologie du gaz brane [14] [15] tente d'expliquer pourquoi il y a trois dimensions de l'espace en utilisant des considérations topologiques et thermodynamiques. Selon cette idée, ce serait parce que trois est le plus grand nombre de dimensions spatiales où les chaînes peuvent se croiser de manière générique. S'il existe initialement de nombreux enroulements de cordes autour de dimensions compactes, l'espace ne pourrait s'étendre à des tailles macroscopiques qu'une fois ces enroulements éliminés, ce qui nécessite que des cordes enroulées de manière opposée se retrouvent et s'annihilent. Mais les cordes ne peuvent se trouver que pour s'annihiler à un rythme significatif en trois dimensions, il s'ensuit donc que seules trois dimensions de l'espace sont autorisées à grandir compte tenu de ce type de configuration initiale.

Les dimensions supplémentaires sont dites universelles si tous les champs sont également libres de se propager en leur sein.

Plusieurs types de systèmes numériques sont basés sur le stockage, l'analyse et la visualisation de formes géométriques, notamment les logiciels d'illustration, la conception assistée par ordinateur et les systèmes d'information géographique. Différents systèmes vectoriels utilisent une grande variété de structures de données pour représenter des formes, mais presque tous sont fondamentalement basés sur un ensemble de primitives géométriques correspondant aux dimensions spatiales : [16]

  • Point (0-dimensionnel), une seule coordonnée dans un système de coordonnées cartésien.
  • Ligne ou alors Polyligne (1 dimension), généralement représenté comme une liste ordonnée de points échantillonnés à partir d'une ligne continue, après quoi le logiciel est censé interpoler la forme intermédiaire de la ligne sous forme de segments de ligne droite ou courbe.
  • Polygone (2 dimensions), généralement représenté par une ligne qui se ferme à ses extrémités, représentant la limite d'une région à deux dimensions. Le logiciel devrait utiliser cette limite pour diviser l'espace bidimensionnel en un intérieur et un extérieur.
  • Surface (3 dimensions), représentées à l'aide de diverses stratégies, telles qu'un polyèdre constitué de faces polygonales connectées. Le logiciel devrait utiliser cette surface pour diviser l'espace tridimensionnel en un intérieur et un extérieur.

Fréquemment dans ces systèmes, en particulier les SIG et la cartographie, une représentation d'un phénomène du monde réel peut avoir une dimension différente (généralement inférieure) que le phénomène représenté. Par exemple, une ville (une région bidimensionnelle) peut être représentée par un point, ou une route (un volume de matériau tridimensionnel) peut être représentée par une ligne. Cette généralisation dimensionnelle est en corrélation avec les tendances de la cognition spatiale. For example, asking the distance between two cities presumes a conceptual model of the cities as points, while giving directions involving travel "up," "down," or "along" a road imply a one-dimensional conceptual model. This is frequently done for purposes of data efficiency, visual simplicity, or cognitive efficiency, and is acceptable if the distinction between the representation and the represented is understood, but can cause confusion if information users assume that the digital shape is a perfect representation of reality (i.e., believing that roads really are lines).

Some complex networks are characterized by fractal dimensions. [17] The concept of dimension can be generalized to include networks embedded in space. [18] The dimension characterize their spatial constraints.

Science fiction texts often mention the concept of "dimension" when referring to parallel or alternate universes or other imagined planes of existence. This usage is derived from the idea that to travel to parallel/alternate universes/planes of existence one must travel in a direction/dimension besides the standard ones. In effect, the other universes/planes are just a small distance away from our own, but the distance is in a fourth (or higher) spatial (or non-spatial) dimension, not the standard ones.

One of the most heralded science fiction stories regarding true geometric dimensionality, and often recommended as a starting point for those just starting to investigate such matters, is the 1884 novella Flatland by Edwin A. Abbott. Isaac Asimov, in his foreword to the Signet Classics 1984 edition, described Flatland as "The best introduction one can find into the manner of perceiving dimensions."

The idea of other dimensions was incorporated into many early science fiction stories, appearing prominently, for example, in Miles J. Breuer's The Appendix and the Spectacles (1928) and Murray Leinster's The Fifth-Dimension Catapult (1931) and appeared irregularly in science fiction by the 1940s. Classic stories involving other dimensions include Robert A. Heinlein's —And He Built a Crooked House (1941), in which a California architect designs a house based on a three-dimensional projection of a tesseract Alan E. Nourse's Tiger by the Tail et The Universe Between (both 1951) and The Ifth of Oofth (1957) by Walter Tevis. Another reference is Madeleine L'Engle's novel A Wrinkle In Time (1962), which uses the fifth dimension as a way for "tesseracting the universe" or "folding" space in order to move across it quickly. The fourth and fifth dimensions are also a key component of the book The Boy Who Reversed Himself by William Sleator.

Immanuel Kant, in 1783, wrote: "That everywhere space (which is not itself the boundary of another space) has three dimensions and that space in general cannot have more dimensions is based on the proposition that not more than three lines can intersect at right angles in one point. This proposition cannot at all be shown from concepts, but rests immediately on intuition and indeed on pure intuition a priori because it is apodictically (demonstrably) certain." [19]

"Space has Four Dimensions" is a short story published in 1846 by German philosopher and experimental psychologist Gustav Fechner under the pseudonym "Dr. Mises". The protagonist in the tale is a shadow who is aware of and able to communicate with other shadows, but who is trapped on a two-dimensional surface. According to Fechner, this "shadow-man" would conceive of the third dimension as being one of time. [20] The story bears a strong similarity to the "Allegory of the Cave" presented in Plato's The Republic (c. 380 BC).

Simon Newcomb wrote an article for the Bulletin of the American Mathematical Society in 1898 entitled "The Philosophy of Hyperspace". [21] Linda Dalrymple Henderson coined the term "hyperspace philosophy", used to describe writing that uses higher dimensions to explore metaphysical themes, in her 1983 thesis about the fourth dimension in early-twentieth-century art. [22] Examples of "hyperspace philosophers" include Charles Howard Hinton, the first writer, in 1888, to use the word "tesseract" [23] and the Russian esotericist P. D. Ouspensky.


Try scipy.spatial.distance.pdist(myArr) . This will give you a condensed distance matrix. You can use argmin on it and find the index of the smallest value. This can be converted into the pair information.

There's a whole Wikipedia page on just this problem, see: http://en.wikipedia.org/wiki/Closest_pair_of_points

Executive summary: you can achieve O(n log n) with a recursive divide and conquer algorithm (outlined on the Wiki page, above).

You could take advantage of the latest version of SciPy's (v0.9) Delaunay triangulation tools. You can be sure that the closest two points will be an edge of a simplex in the triangulation, which is a much smaller subset of pairs than doing every combination.

Here's the code (updated for general N-D):

There is a scipy function pdist that will get you the pairwise distances between points in an array in a fairly efficient manner:

that outputs the N*(N-1)/2 unique pairs (since r_ij == r_ji). You can then search on the minimum value and avoid the whole loop mess in your code.

Perhaps you could proceed along these lines:

With substantially more points you need to be able to somehow utilize the hierarchical structure of your clustering.

How fast is it compared to just doing a nested loop and keeping track of the shortest pair? I think creating a huge cross array is what might be hurting you. Even O(n^2) is still pretty quick if you're only doing 2 dimensional points.

The accepted answer is OK for small datasets, but its execution time scales as n**2 . However, as pointed out by @payne, an optimal solution can achieve n*log(n) computation time scaling.

This optial solution can be obtained using sklearn.neighbors.BallTree as follows.

This procedure scales well for very large sets of xy values and even for large dimensions dim (altough the example illustrates the case dim=2 ). The resulting output looks like this


An algorithm for calculating minimum Euclidean distance between two geographic features

An efficient algorithm is presented for determining the shortest Euclidean distance between two features of arbitrary shape that are represented in quadtree form. These features may be disjoint point sets, lines, or polygons. It is assumed that the features do not overlap. Features also may be intertwined and polygons may be complex (i.e. have holes).

Utilizing a spatial divide-and-conquer approach inherent in the quadtree data model, the basic rationale is to narrow-in on portions of each feature quickly that are on a facing edge relative to the other feature, and to minimize the number of point-to-point Euclidean distance calculations that must be performed. Besides offering an efficient, grid-based alternative solution, another unique and useful aspect of the current algorithm is that is can be used for rapidly calculating distance approximations at coarser levels of resolution.

The overall process can be viewed as a top-down parallel search. Using one list of leafcode addresses for each of the two features as input, the algorithm is implemented by successively dividing these lists into four sublists for each descendant quadrant. The algorithm consists of two primary phases. The first determines facing adjacent quadrant pairs where part or all of the two features are separated between the two quadrants, respectively. The second phase then determines the closest pixel-level subquadrant pairs within each facing quadrant pair at the lowest level. The key element of the second phase is a quick estimate distance heuristic for further elimination of locations that are not as near as neighboring locations.


Voir la vidéo: How do non-euclidean games work? Bitwise